English:

The Law of Total Probability is a fundamental rule in probability theory that provides a way to calculate the probability of an event $A$ by considering all the possible ways $A$ can occur, based on a partition of the sample space.

Definition

Let $B_1, B_2, ldots, B_n$ be a partition of the sample space $Omega$, meaning:

• The events $B_1, B_2, ldots, B_n$ are mutually exclusive ($B_i cap B_j = emptyset$ for $i neq j$).
• The events $B_1, B_2, ldots, B_n$ together cover the entire sample space ($bigcup_{i=1}^n B_i = Omega$).

If $P(B_i) > 0$ for all $i$, then for any event $A$, the probability of $A$ can be expressed as:

$$P(A) = sum_{i=1}^n P(A cap B_i) = sum_{i=1}^n P(A | B_i) P(B_i),$$

where:

• $P(A cap B_i)$ is the joint probability of $A$ and $B_i$.
• $P(A | B_i)$ is the conditional probability of $A$ given $B_i$.

Intuition

The Law of Total Probability breaks down the probability of $A$ by considering all the scenarios in which $A$ can occur, as determined by the partition ${B_1, B_2, ldots, B_n}$. Each term in the sum represents the contribution to $P(A)$ from $A$ happening under a specific condition $B_i$.

Example

Suppose a factory produces widgets, and there are three machines $M_1, M_2, M_3$ contributing to production:

• $P(M_1) = 0.5$, $P(M_2) = 0.3$, $P(M_3) = 0.2$.
• The probability of producing a defective widget depends on the machine:
  • $P(text{Defective} | M_1) = 0.01$,
  • $P(text{Defective} | M_2) = 0.03$,
  • $P(text{Defective} | M_3) = 0.05$.

To find the total probability of producing a defective widget:

$$P(text{Defective}) = P(text{Defective} | M_1) P(M_1) + P(text{Defective} | M_2) P(M_2) + P(text{Defective} | M_3) P(M_3).$$

Substituting the values:

$$P(text{Defective}) = (0.01)(0.5) + (0.03)(0.3) + (0.05)(0.2) = 0.005 + 0.009 + 0.01 = 0.024.$$

Thus, the total probability of producing a defective widget is $0.024$ or $2.4$.

Connection to Bayes' Theorem

The Law of Total Probability is often a precursor to Bayes' Theorem, where the conditional probabilities $P(A | B_i)$ and $P(B_i)$ are used to calculate the posterior probability $P(B_i | A)$.

---

Vietnamese:

Luật Xác Suất Toàn Phần là một quy tắc cơ bản trong lý thuyết xác suất, cung cấp cách tính xác suất của một sự kiện $A$ bằng cách xem xét tất cả các cách mà $A$ có thể xảy ra, dựa trên một phân hoạch của không gian mẫu.

Định nghĩa

Giả sử $B_1, B_2, ldots, B_n$ là một phân hoạch của không gian mẫu $Omega$, nghĩa là:

• Các sự kiện $B_1, B_2, ldots, B_n$ không giao nhau ($B_i cap B_j = emptyset$ với $i neq j$).
• Các sự kiện $B_1, B_2, ldots, B_n$ bao phủ toàn bộ không gian mẫu ($bigcup_{i=1}^n B_i = Omega$).

Nếu $P(B_i) > 0$ với mọi $i$, thì đối với bất kỳ sự kiện nào $A$, xác suất của $A$ có thể được biểu diễn như sau:

$$P(A) = sum_{i=1}^n P(A cap B_i) = sum_{i=1}^n P(A | B_i) P(B_i),$$

trong đó:

• $P(A cap B_i)$ là xác suất đồng thời của $A$ và $B_i$.
• $P(A | B_i)$ là xác suất có điều kiện của $A$ khi biết $B_i$.

Trực giác

Luật Xác Suất Toàn Phần chia nhỏ xác suất của $A$ bằng cách xem xét tất cả các kịch bản mà $A$ có thể xảy ra, được xác định bởi phân hoạch ${B_1, B_2, ldots, B_n}$. Mỗi hạng tử trong tổng đại diện cho đóng góp của $A$ xảy ra dưới một điều kiện cụ thể $B_i$.

Ví dụ

Giả sử một nhà máy sản xuất các sản phẩm, với ba máy $M_1, M_2, M_3$ tham gia sản xuất:

• $P(M_1) = 0.5$, $P(M_2) = 0.3$, $P(M_3)=0.2$
• Xác suất sản phẩm bị lỗi phụ thuộc vào máy:
  • $P(text{Lỗi} | M_1) = 0.01$,
  • $P(text{Lỗi} | M_2) = 0.03$,
  • $P(text{Lỗi} | M_3) = 0.05$.

Để tìm xác suất tổng của việc sản xuất một sản phẩm lỗi:

$$P(text{Lỗi}) = P(text{Lỗi} | M_1) P(M_1) + P(text{Lỗi} | M_2) P(M_2) + P(text{Lỗi} | M_3) P(M_3).$$

Thay các giá trị:

$$P(text{Lỗi}) = (0.01)(0.5) + (0.03)(0.3) + (0.05)(0.2) = 0.005 + 0.009 + 0.01 = 0.024.$$

Vậy, xác suất tổng của việc sản xuất một sản phẩm lỗi là $0.024$ hay $2.4$.

Kết nối với Định lý Bayes

Luật Xác Suất Toàn Phần thường là bước chuẩn bị để áp dụng Định lý Bayes, nơi các xác suất có điều kiện $P(A | B_i)$ và $P(B_i)$ được sử dụng để tính xác suất hậu nghiệm $P(B_i\mathrm{\mid }A)$