English:

In probability theory, a Wiener process (or Brownian motion) is a type of stochastic process that models random, continuous motion, commonly used in fields like physics, finance, and mathematics.

Key Characteristics of the Wiener Process:

A Wiener process $W_t$ with time $t geq 0$ has the following properties:

1. Starting Point:

   $$W_0 = 0$$

   The process begins at zero.

2. Independent Increments: For any $t_1 < t_2 < dots < t_n$, the increments $W_{t_2} - W_{t_1}, W_{t_3} - W_{t_2}, dots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}}$ are independent.

3. Normally Distributed Increments: For any $s < t$, the increment $W_t - W_s$ follows a normal distribution:

   $$W_t - W_s sim mathcal{N}(0, t - s)$$

   This means the expected change over time is zero, but the variance (or spread) grows proportionally with time.

4. Continuous Paths: The process has continuous paths, meaning there are no sudden jumps in $W_t$.

Mathematical Formulation:

The Wiener process is commonly used to model random fluctuations in various contexts. For example, in finance, it is the foundation of models like the Black-Scholes model for option pricing.

A stochastic differential equation (SDE) involving a Wiener process might look like this:

$$dX_t = mu , dt + sigma , dW_t$$

where:

• $mu$ is the drift (or average direction of change),
• $sigma$ is the diffusion coefficient (or volatility),
• $W_t$ is the Wiener process term, introducing randomness into the system.

The Wiener process is a fundamental tool in stochastic calculus and provides a mathematical foundation for modeling processes with inherent randomness or uncertainty.

---

Trong lý thuyết xác suất, quá trình Wiener (hay còn gọi là chuyển động Brown) là một loại quá trình ngẫu nhiên mô phỏng chuyển động ngẫu nhiên liên tục, được sử dụng phổ biến trong các lĩnh vực như vật lý, tài chính và toán học.

Các Đặc Điểm Chính của Quá Trình Wiener:

Một quá trình Wiener $W_t$ với thời gian $t geq 0$ có các đặc điểm sau:

1. Điểm Khởi Đầu:

   $$W_0 = 0$$

   Quá trình bắt đầu từ điểm 0.

2. Gia Tăng Độc Lập: Với bất kỳ $t_1 < t_2 < dots < t_n$, các gia tăng $W_{t_2} - W_{t_1}, W_{t_3} - W_{t_2}, dots, W_{t_n} - W_{t_{n-1}}$ là độc lập với nhau.

3. Gia Tăng Phân Phối Chuẩn: Với bất kỳ $s < t$, gia tăng $W_t - W_s$ tuân theo phân phối chuẩn:

   $$W_t - W_s sim mathcal{N}(0, t - s)$$

   Điều này có nghĩa là kỳ vọng của sự thay đổi qua thời gian bằng không, nhưng phương sai (hoặc độ lan rộng) tăng tỷ lệ thuận với thời gian.

4. Đường Đi Liên Tục: Quá trình có đường đi liên tục, nghĩa là không có bước nhảy đột ngột trong $W_t$.

Biểu Diễn Toán Học:

Quá trình Wiener được sử dụng để mô hình hóa dao động ngẫu nhiên trong nhiều bối cảnh khác nhau. Ví dụ, trong tài chính, nó là nền tảng của các mô hình như mô hình Black-Scholes trong định giá quyền chọn.

Một phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) bao gồm một quá trình Wiener có thể có dạng:

$$dX_t = mu , dt + sigma , dW_t$$

trong đó:

• $mu$ là thành phần trôi (hoặc hướng thay đổi trung bình),
• $sigma$ là hệ số khuếch tán (hoặc độ biến động),
• $W_t$ là thành phần quá trình Wiener, đưa yếu tố ngẫu nhiên vào hệ thống.

Quá trình Wiener là một công cụ cơ bản trong phép tính ngẫu nhiên và cung cấp nền tảng toán học để mô hình hóa các quá trình có tính ngẫu nhiên hoặc bất định.